大家好，如何用勾股定理求平面直角坐标系相信很多的网友都不是很明白，包括怎样用坐标法证明余弦定理也是一样，不过没有关系，接下来就来为大家分享关于如何用勾股定理求平面直角坐标系和怎样用坐标法证明余弦定理的一些知识点，大家可以关注收藏，免得下次来找不到哦，下面我们开始吧！

勾股定理证明方法

勾股定理证明方法带图,较难的,多种方法

刘徽在证明勾股定理时，也是用的以形证数的方法，只是具体的分合移补略有不同.刘徽的证明原也有一幅图，可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂.开方除之，即弦也.”后人根据这段文字补了一张图.大意是：三角形为直角三角形，以勾a为边的正方形为朱方，以股b为边的正方形为青方.以盈补虚，将朱方、青放并成弦方.依其面积关系有a^+b^=c^.由于朱方、青方各有一部分在弦方内，那一部分就不动了.以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方.以赢补虚，只要把图中朱方（a2）的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形（c的平方）.由此便可证得a的平方+b的平方=c的平方.这个证明是由三国时代魏国的数学家刘徽所提出的.在魏景元四年（即公元263年），刘徽为古籍《九章算术》作注释.在注释中，他画了一幅像图五（b）中的图形来证明勾股定理.由於他在图中以「青出」、「朱出」表示黄、紫、绿三个部分，又以「青入」、「朱入」解释如何将斜边正方形的空白部分填满，所以后世数学家都称这图为「青朱入出图」.亦有人用「出入相补」这一词来表示这个证明的原理.。

勾股定理的证明方法（10种以上）

【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等.即，整理得.【证法2】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE≌RtΔEBF，∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90？，∴∠AEH+∠BEF=90？.∴∠HEF=180？―90?=90？.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.∵RtΔGDH≌RtΔHAE，∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90？，∴∠EHA+∠GHD=90？.又∵∠GHE=90？，∴∠DHA=90?+90?=180？.∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于.∴.∴.。

求五种证明勾股定理的方法（带图）

勾股定理的证明：在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。

首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。1.中国方法：画两个边长为（a+b）的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。

这两个正方形全等，故面积相等。左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。

从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。

右图剩下以c为边的正方形。于是a^2+b^2=c^2。

这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。

2.希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形，如图。容易看出，△ABA'≌△AA'C。

过C向A''B''引垂线，交AB于C'，交A''B''于C''。△ABA'与正方形ACDA'同底等高，前者面积为后者面积的一半，△AA''C与矩形AA''C''C'同底等高，前者的面积也是后者的一半。

由△ABA'≌△AA''C，知正方形ACDA'的面积等于矩形AA''C''C'的面积。同理可得正方形BB'EC的面积等于矩形B''BC'C''的面积。

于是，S正方形AA''B''B=S正方形ACDA'+S正方形BB'EC，即a2+b2=c2。至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。

这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。

以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念：⑴全等形的面积相等；⑵一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。

我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法：如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。

即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。

西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。

故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。

下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。如图，S梯形ABCD=(a+b)2=(a2+2ab+b2)，①又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED=ab+ba+c2=(2ab+c2)。

②比较以上二式，便得a2+b2=c2。这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。

1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。

后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。

则△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。由△BCD∽△BAC可得BC2=BD?BA，①由△CAD∽△BAC可得AC2=AD?AB。

②我们发现，把①、②两式相加可得BC2+AC2=AB(AD+BD)，而AD+BD=AB，因此有BC2+AC2=AB2，这就是a2+b2=c2。这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。

它利用了相似三角形的知识。在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。

如有人给出了如下证明勾股定理的方法：设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，因为∠C=90°，所以cosC=0。所以a2+b2=c2。

这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。

人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。

从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。

若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。如此等等。

另：八年级数学勾股定理的证明（介绍16种证明的方法）（数学教案）。

勾股定理是怎么被证明出来的？

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识.其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5.这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵.”从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了.稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.如图所示，我们图1直角三角形用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦（c）来表示斜边，则可得：勾2+股2=弦2亦即：a2+b2=c2勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的.其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多.如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年.其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例（32+42=52）.所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的.在稍后一点的《九章算术一书》中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达.书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦.”把这段话列成算式，即为：弦=（勾2+股2）(1/2)亦即：c=(a2+b2)(1/2)中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明.最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的.每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2.于是便可得如下的式子：4*(ab/2)+(b-a)2=c2化简后便可得：a2+b2=c2亦即：c=(a2+b2)(1/2)图2勾股圆方图赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展.例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义.事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件.正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的.十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续.”。

证明勾股定理的方法我要的不是把直角三角形拼起来的那种,我要的是

.中国方法：画两个边长为（a+b）的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边.这两个正方形全等，故面积相等.左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等.从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等.左图剩下两个正方形，分别以a、b为边.右图剩下以c为边的正方形.于是a^2+b^2=c^2.这就是我们几何教科书中所介绍的方法.既直观又简单，任何人都看得懂.2.希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形，如图.容易看出，△ABA'≌△AA'C.过C向A''B''引垂线，交AB于C'，交A''B''于C''.△ABA'与正方形ACDA'同底等高，前者面积为后者面积的一半，△AA''C与矩形AA''C''C'同底等高，前者的面积也是后者的一半.由△ABA'≌△AA''C，知正方形ACDA'的面积等于矩形AA''C''C'的面积.同理可得正方形BB'EC的面积等于矩形B''BC'C''的面积.于是，S正方形AA''B''B=S正方形ACDA'+S正方形BB'EC，即a2+b2=c2.至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）.这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式.这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法.以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念：⑴全等形的面积相等；⑵一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积.这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解.我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明.采用的是割补法：如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的.即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”.赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观.西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的.据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺.故西方亦称勾股定理为“百牛定理”.遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法.。

什么叫勾股定理有哪些方法可以用它证明题？

在任何一个直角三角形（RT△）中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方，这就叫做勾股定理.即勾的平方加股的平方等于弦的平方勾股定理（6张）.（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.）勾股定理是余弦定理的一个特例.这个定理在中国又称为“商高定理”（相传大禹治水时，就会运用此定理来解决治水中的计算问题），在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理”.（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”（驴桥定理——欧几里得《几何原本》第一篇的前5个命题是：命题1：以已知线段为边，求作一等边三角形.命题2：求以已知点为端点，作一线段与已知线段相等.命题3：已知大小两线段，求在大线段上截取一线段与小线段相等.命题4：两三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等.命题5：等腰三角形两底角相等.他们发现勾股定理的时间都比中国晚（中国是最早发现这一几何宝藏的国家）.目前初二学生开始学习，教材的证明方法大多采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图.勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a^2;+b^2;=c^2；.勾股定理指出直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方.也就是说设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c的平方a2+b2=c2.勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一.中国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五.”它被记录在了《九章算术》中.推广1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义.即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和.2.勾股定理是余弦定理的特殊情况.勾股定理。

如何快速求出所有的勾股数

1．定义：凡符合X＾2+Y＾2=Z＾2公式的正整数值我们称之为勾股数。X和Y是直角边，Z是斜边。

2．凡有公约数的勾股数我们称之为派生勾股数，例[30，40，50]等；

3．无公约数的勾股数，例[3，4，5]；[8，15，17]等，我们称之为勾股数。全是偶数的勾股数必是派生勾股数，三个奇数不可能符合定义公式。因此，勾股数唯一的可能性是：

X和Y分别是奇数和偶数（偶数和奇数），斜边Z只能是奇数。

4．勾股数具有以下特性：

斜边与偶数边之差是奇数,这个奇数只能是某奇数的平方数,例1,9,25,49,……，至无穷大；

斜边与奇数边之差是偶数,这个偶数只能是某偶数平方数的一半,例2，8，18，32，……，至无穷大；

5．由以上定义我们推导出勾股公式：

X=P＾2+PQ（X等于P平方加PQ）

Y=Q＾2/2+PQ（Y等于二分之Q方加PQ）

Z=P＾2+Q＾2/2+PQ（Z等于P平方加二分之Q方加PQ）

6．此公式涵盖了自然界的全部勾股数，包括派生勾股数。

7．用此公式很容易导出全部勾股数，例如2000以内的勾股数计有320组,（不含派生勾股数）。最大的一组是[315,1972,1997]

8．斜边是1105和1885的勾股数各有4组：

[47，1104，1105][264，1703，1105][576，943，1105][744，817，1105]；

[427，1836，1885][1003，1596，1885][1643，924，1885][1813，516，1885]；

9．以任意奇数代入P，任意偶数代入Q，即可得到唯一一组勾股数。

例如P=5，Q=8，得到

X=25+5×8=65

Y=32+5×8=72

Z=25+32+5×8=97

10．它极清楚地显示出了斜边与偶数直角边之差是奇数的平方，斜边与奇数直角边之差是偶数平方值的一半，而斜边则是由奇数的平方与偶数平方的一半和此奇数与偶数之积三项之和所构成。

11．当P与Q有公约数时，例如9与12，再例如21与28等，推导出来的是派生勾股数；

当P与Q无公约数时，例如9与8，再例如21与16等，推导出来的是勾股数；

12．不存在不符合本公式的勾股数。例如有人奉献趣味勾股数[88209，90288，126225]，它实际是个派生勾股数，它是[297，304，425]乘297倍而成，它是由P=11和Q=16导出。

13．本文所提供的公式是依据本文第4条的两条勾股数特性规律推导而出，但是它可以与六百年前印度婆罗门笈多公式相互推导。

14．依据本公式勾股定理可从正整数拓展到负整数。在笛卡尔座标图上，勾股三角形可以在更大的位置上显现。

万望采纳

怎样用坐标法证明余弦定理

余弦定理的三次推导（高中数学）2006-11-1713:02:38阅读975次2000-2005年笔者先后三次任教高一数学，每轮教学时，都在新课程理念指导下对上一轮的教学进行反思与改进，争取在原有基础上有所突破。下面是笔者在“余弦定理的推导”的三轮教学中，不断实践、反思、再实践，尝试激活数学课堂教学的三个课例。

教学片段：余弦定理的第一次推导

提问：在ΔABC中，若已知BC=a，AC=b，∠ACB=C，能否求出三角形的第三边AB的长？

教师讲解：把ΔABC放在直角坐标系中，使顶点A与坐标原点重合，顶点C落在OX轴的正半轴上，顶点B落在OX轴上方：

yBC（b，0）B（ccosA，csinA）

∴a2=b2+c2-2bccosA

AoCx同理b2=c2+a2–2cacosB余弦定理

c2=a2+b2–2abcosC

这种方法，我们称为坐标法，它是处理几何问题的一种常见的重要方法。

笔者在第一次讲授余弦定理的推导过程是按照教材借助于平面直角坐标系，采用坐标法直接得证的。

从课堂效果来看，同学们对运用坐标法来推导余弦定理这一数形结合的思想方法很快接受，其后大量的教学时间可以投入到运用余弦定理解三角形的练习中。而余弦定理的推导过程犹如昙花一现，逐渐被学生忽略和忘却。在以后的学习中，几乎很少有同学能具体说出定理的推导过程，同时，同学们仍旧不习惯用坐标法来解决一些实际问题。因此，这堂课只是让学生接受了余弦定理的内容，而在数学思想方法的点拨培养，即让学生对坐标法的领悟是失败的。因此，笔者在第二次讲授余弦定理的推导时做了新的尝试。

教学片段：余弦定理的第二次推导

一、创设情境，提出问题

教师活动：某工程师设计一条现代化铁路

通过某座山，要预算开凿隧道BC的长，测量人员

所处的测量点为A，测得：AB=c，AC=b，∠BAC=A。

如果你是工程师，你将如何计算隧道BC的长？

二、探索解法，提升认识

学生活动：学生找熟悉方法入手，把“斜三角形转化成两个

直角三角形”，运用勾股定理和锐角三角形来证明。

师生共同活动：由学生交流、讨论，发现此种方法必须对∠A分三种情况讨论，才是完整的证明。

若∠A是直角若∠A是锐角若∠A是钝角

BC2=b2+c2BC2=b2+c2-2bccosABC2=b2+c2-2bccosA

通过三种情况的分类讨论，说明无论∠A是直角、锐角、钝角，

都有a2=b2+c2-2bccosA

教师活动（总结点拨）：此种证明化一般为特殊，又渗透分类讨论思想，是证明余弦定理的好方法，但证明过程显得十分累赘。同学们能否想个办法避开讨论，不管∠A是锐角、直角还是钝角，都可以将它们统一起来？

学生活动：把角统一，三角比定义可以做到，但必须建立直角坐标系。

学生板演：把ΔABC放在直角坐标系中，使顶点A与坐标原点重合，顶点C落在OX轴的正半轴上，顶点B落在OX轴上方：

yBC（b，0）B（ccosA，csinA）

∴a2=b2+c2-2bccosA

AOCx同理b2=c2+a2–2cacosB余弦定理

c2=a2+b2–2abcosC

教师活动：这种方法，我们称之为坐标法，它是处理几何问题的一种常见的重要方法。

从课堂效果来看，同学们从安静地听课到积极地配合，从被动地接受到主动地思考。从课后同学反馈来看，同学们纷纷表示对余弦定理的推导过程留下了深刻的印象，感悟到重视数学思想方法要比数学结果的记忆和运用更为重要，而且更吸引他们。从第一次教学后同学们对数学精彩的毫无感觉到第二次教学后同学们对数学思想方法的领悟。无疑，第二次教学实践是有所提高的。而提高正是来自于新课程理念的指导。

首先，新课程指出一堂好课应该是学生探索世界的窗口。给予学生新的视野、新的启迪比知识本身的传授更为重要。因此，笔者的第二次教学尝试，将教学重心置于余弦定理的推导过程。从重数学结果转变为重技能、方法的培养。

其次，新课程强调课堂教学向生活的回归，只有植根于生活世界并为生活世界服务的课程和教学，才能具有深厚的生命力。因此，笔者创设了一个“现实的、有意义的、富有挑战性的”问题情境，从教学内容的结构、呈现方式上进行转变。做到情境化、问题化，让学生体验生活中处处有数学。

再次，新课程关注学生的学习兴趣和经验，强化直接经验和间接经验的有机整合。因此，在解决实际问题的过程中，鼓励学生从已有的数学经验出发，使得学生能很自然且有信心地投入到探索问题、发现问题和解决问题的过程中。在合作、交流、完善的过程中，让学生体会原有经验在解决问题中的不足，从而激发学生另辟新径、探求新知，进而化解矛盾、化繁为简。在坐标法的探究中，让学生领悟到坐标法解决几何问题比以往用初中几何知识解决，所具有独特的魅力和优越性；更从中领悟到高中阶段学习任意角的三角比的实质意义。在经历了探究、体验、感悟后，同学们的间接经验经过整合、充实、提升为直接经验，并使直接经验不断丰富、发展、升华，从而实现知识与能力的统一。

然而，第二天的课前回顾，在讲述余弦定理表达式的回答中，从几位同学吱吱唔唔的回答中，笔者又发现了新问题。在注重余弦定理推导方法的比较时，却忽略了余弦定理本身。新课程明确指出：“将课程与学习融为一体，要展示知识的生成、发展和形成的过程，提供学生亲身感受、体验的机会。”因此，笔者的第三次教学尝试，在备课时重点放在了余弦定理身上。而如何创设一个余弦定理生成的场景，让学生去自主发现、自主探究，则是问题的关键。但这一问题过去从未思考过，各类书籍参考书也从未揭示过余弦定理的来源，确实它让笔者面临一项很大的挑战。然而“功夫不负有心人”，终于在一次翻阅过去教案时，灵感降临了。笔者被余弦定理的一个相关结论所吸引：“在三角形ABC中，若a2=b2+c2，则∠A是直角；若a2>b2+c2，则∠A是钝角；若a2

教学片段：余弦定理的第三次推导

一、引导学生，发现余弦定理的存在

教师活动：在ΔABC中，若已知BC=a，AC=b，能否求出三角形的第三边AB的长？

学生活动：不能，因为三角形的大小、形状不能确定。

教师活动：不能，那么添加哪一个角的条件，一定能求出三角形的第三边。

学生活动：根据三角形的判定定理，只能添加BC、AC的夹角C。

教师活动：既然c边可由a、b及∠C唯一确定，那么对于这类问题是否也像正弦定理一样，存在某个定理、公式可以解这种三角形？

二、引导学生，探究、猜想余弦定理的形式

教师活动：（几何画板展示，在ΔABC中，AC、BC长度固定不变，BC绕C点转动，AB的长度随∠C的变化而变化），

这一变化揭示AB的长度与∠C之间是怎样的数学关系？

学生活动：AB应为∠C的函数

教师活动：（几何画板的数据演示：

当∠C=90°时，c2=a2+b2；

当∠C<90°时，c2

当∠C>90°时，c2>a2+b2；）

师生共同活动：教师组织学生观察、讨论，引导学生归纳、猜想函数关系式。

学生活动：猜想c2=a2+b2+f()

师生共同活动：师生共同探究f()的具体形式。

（1）f()=？（2）f()与的哪个三角函数有关？

学生活动：学生交流、讨论，联想各个三角函数得出以下结论：

（1）f()与的余弦值有关；（2）f()=cosC（3）f()=cos

（4）f()=kcos

学生经过交流、讨论、探究，一致认为f()=kcos

即c2=a2+b2+kcos（k>0）

教师活动：那么k又是什么形式？如何确定k呢？

学生活动：（学生分组讨论，探求k）

有学生由特殊值着手，发现：（1）当C=30°，c2=a2+b2-bc

（2）当C=60°，c2=a2+b2-bc

（3）当C=120°，c2=a2+b2+bc

（4）当C=150°，c2=a2+b2+bc

有学生由临界状态发现：当C=0°或当C=180°时，k=2ab

学生经过分析，大胆地猜想：c2=a2+b2-2abcosC

三、鼓励学生，探究余弦定理的证明

教师活动：数学猜想富于创造性，能够提供大量的新视点、有价值的设想，但是其成果必须经过严格的论证，只有经过论证的东西才是数学上可以接受的。

学生活动：（学生找熟悉的方法入手，把“斜三角形转化成两个直角三角形”，运用勾股定理和锐角三角形来证明）

师生共同活动：由学生讨论此种方法必须对∠C分三种情况讨论，才是完整的证明。

教师活动（总结点拨）：此种证明化一般为特殊，又渗透分类讨论思想，是证明余弦定理的好方法，但证明过程十分累赘。能否避开讨论，不管∠C是锐角、直角还是钝角，都可以将它们统一起来？

学生活动：把角统一，三角比定义可以做到，但必须建立直角坐标系。

学生板演：把ΔABC放在直角坐标系中，使顶点A与坐标原点重合，顶点C落在OX轴的正半轴上，顶点B落在OX轴上方：

yBC（b，0）B（ccosA，csinA）

∴a2=b2+c2-2bccosA

AoCx同理b2=c2+a2–2cacosB余弦定理

c2=a2+b2–2abcosC

教师活动：我们称之为坐标法，它是处理几何问题的一种常见的重要方法。

从课堂效果来看，同学们情绪高涨、思维活跃，全身心地投入到探索问题、发现问题和解决问题的过程中。同学们从积极地配合到主动的探究，从单一思考到合作交流。从课后同学反馈来看，同学们纷纷欣喜地表示“原来数学可以这样学”、“原来数学规律的发现我也行”、“余弦定理我是一辈子也不会忘的”。对余弦定理的发现、猜想、论证过程留下了极为丰富的印象，体验到主动探究、合作交流这些学习方式的充实和快乐。从第二次教学后同学们对数学思想方法的感悟到第三次教学后同学们对数学学科的魅力的由衷向往。无疑，第三次教学实践是成功的。而成功更是来自于对新课程理念的追求。

首先，新课程重视数学知识的生成、发展和形成的过程，提供学生亲身感受、体验的机会。因此，笔者的第三次教学尝试，将整堂教学内容定为余弦定理的推导过程。从重数学结果转变为重知识的发生、发展过程，在知识发生、发展的过程体验中，达成知识、技能、方法的提高。而这一过程的创设，则是教师钻研的真正所在，也是教师智慧的真正体现。

其次，新课程积极营造“涌动着生命活力”的课堂教学。在笔者所创设的余弦定理生成的场景中，同学们释放出前所未有的积极性、创造性和想象力，在“浮想联翩”、“怦然心动”、“百感交集”、“妙不可言”的情感变化中，完成了余弦定理的猜想；在“茅塞顿开”、“豁然开朗”、“悠然心会”、“深得我心”的情感体验中，完成了余弦定理的证明。而师生之间心灵的共鸣和思维的共振，已使课堂成为师生之间生命相遇、心灵相约、质疑解难、探寻真理的场所。

再次，新课程提倡让主动探究成为学生的学习方式。从第三次教学现场来看，笔者亲身感受到探究活动在学生身上激发出的学习热情，更发现了在经历探究活动的过程中学生身上焕发出巨大的学习潜质。作为新课程提倡的一种学习方式，要求教师不断引导和指导学生去主动探究，更期待着它能内化为学生经验系统的一部分，成为学生的一种学习习惯。

余弦定理三次推导三次变化，变化不仅仅来自推导方法的不同，变化更是来自于设计理念的更新、教师角色的转变和学生学习方式的改变。变化最终让数学课堂焕发生命活力。

作者：王静单位：天山中学

什么是勾股定理

一、达纲要求：

1、理解余角的概念，掌握同角或等角相等，直角三角形两锐角互余等性质，会用它们进行有关论证和计算。

2、了解逆命题和逆命定理的概念，原命题成立它的逆命题不一定成立，会识别两个互逆命题。

3、掌握勾股定理，会用勾股定理由直角三角形两边长求第三边长；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。

4、初步掌握根据题设和有关定义、公理、定理进行推理论证。

5、通过介绍我国古代数学关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育。

二、重点提示

1、重点勾股定理及其应用

2、难点勾股定理及其逆定理的证明

3、关键点灵活运用勾股定理及其逆定理进行证题和计算

三、方法技巧

1、勾股定理是直角三角形三边存在的一种特殊关系，它的证明方法很多，用面积法证明比较简捷，用面积法证题是一种重要的证题方法，涉及到距离或垂线段时运用面积法解题较方便。

2、勾股定理的应用非常广泛，在进行几何计算时，常常要用到代数知识的方法，有的几何题为了应用勾股定理，可以作高（或垂线段）构造直角三角形。

3、勾股定理的逆定理的证明方法比较特殊，这种证题思路和方法值得学习借鉴，勾股定理的逆定理是判定是否直角三角形的重要依据，它可以通过边的长度关系，确定角的大小，因而在应用时，有一定的技巧，解题的思路有时更为特殊。

四、典型考题示范

例1.若ΔABC的三外角的度数之比为3：4：5，最长边AB与最小边BC的关系是______。

分析：因为三角形三个外角与三内角互补，三角形的内角和为180°，所以三外角的和为360°，这样三个外角的度数分别为90°，120°，150°，因而三角形之内角的度数分别为90°，60°，30°，因而三角形是含30°角的直角三角形，应用直角三角形，应用直角三角形的性质可以找到最长边与最短边的关系。

解：设三角形的三个外角分别为3α，4α，5α，则有3α+4α+5α=360°，

∴α=30°3α=90°4α=120°5α=150°

故三角形三个角度数为∠C=180°-90°=90°,∠B=180°-120°=60°,∠A=180°-150°=30°,∴ΔABC为含30°的直角三角形。

∴AB=2BC（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）

填AB=2BC

评注：本题应用勾股定理可以找到三边的关系，若已知一条边的长，可以求其余两边长。

例2.如图3-180，ΔABC中∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，在三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是（）

A.1B.3C.6D.非以上答案

分析：因为P点到各边的距离都相等，因此可以考虑用面积法求这个距离，由∠B=90°，AB=7，BC=24，由勾股定理可以求出AC的长，所以用面积公式可以求出P点到各边的距离，为此要连结PA、PB、PC。图3-180

解：由勾股定理得，AC2=AB2+BC2=72+242=252,∴AC=25，设P点到各边的距离为r，连结PA、PB、PC，依三角形的面积关系有SΔABP+SΔBCP+SΔACP=SΔABC

即

得（7+24+25）r=7×24，∴r=3

评注：涉及到垂线段的问题，常可联系到某一三角形的高，从而根据面积关系和面积公式得到关于垂线段的方程，通过解方程，求垂线段的长。用面积法求直角三角形中有关线段的长是各地中考命题的热点。

例3.如图在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°,∠B=∠D=90°，求四边形ABCD的面积。

分析：要求四边形的面积可以将四边形转化为三角形通过先求三角形的面积，再求四边形的面积，为了便于利用已知边和角，在作辅助线时，尽量保持已知边和已知角，为此连结四边形的对角线的方法和作AB、DC的延长线均不可取，作BC的延长线与AD的延长线相交于点E，即保留了已知边和已知角，又得到了两个含30°角的直角三角形，使问题变得简单易解。

解：作BC的延长线交AD的延长线于点E

∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°

在RtΔCDE中，∠CDE=90°，CD=1

∴CE=2，

在RtΔABE中，∠ABE=90°，AB=2，∠A=60°

∴AE=4，

又∵S四边形ABCD=SΔABE-SΔCDE

评注：本题解答的关键是构造特殊的直线三角形，并且这些特殊三角形以已知线段为边。

五、错例剖析

[例1]已知等腰三角形的底角等于15°，腰长等于2a，求腰上的高。

已知如图3-189，ΔABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，BD是高，求BD的长。

错解：∵∠BAB=∠ABC+∠ACB

∴∠DAB=15°+15°=30°

又∵BD是高，∴在RtΔABD中，AD=AB=a图3-189

由勾股定理得：

剖析：解析几何问题时，画图很重要，画得准确、规范，可以利用图形的直观，对解题有帮助作用，画得不准则容易造成错觉，本题就是由于作图的不准，误认为∠DBA=30°

改正：如图3-190

∵∠DAB=∠ABC+∠C，∴DAB=15°×2=30°

∵BD是高，∴RtΔABD中，BD=AB=a图3-190

[例2]若直角在角形的两条边长为6cm，8cm，则第三边长为_____cm。

错解：设第三边长为xcm，由勾股定理得：

62+82=x2,即第三边长为10cm。

剖析：题目中没有已知第三边是斜边还是直角边，需要讨论，这里误认为是斜边，所以，解答不完全。

改正：设第三边长为xcm

若第三边长为斜边，由勾股定理得

若第三边长为直角边，则8cm长的边必是斜边，由勾股定理得

[例3]已知在ΔABC中，三条边长分别为a,b,c，且a=n，,（n为大于2的偶数），

求证：ΔABC是直角三角形。

错误：由勾股定理，得a2+b2=c2

a2+b2=

∴ABC是直角三角形。

剖析：根据三角形的边的关系，判定是否直角三角形，可以用勾股定理的逆定理来解决，这里错误地应用了勾股定理，首先就把ΔABC当成了直角三角形。

改正：a2+b2=

∴ΔABC是直角三角形（勾股定理的逆定理）

[例4]在ΔABC中，已知∠C=90°,AB=10,∠A=45°,求BC的长。

错解：∵∠C=90°,∠A=45°∴∠B=90°,∠A=45°

∴∠A=∠B∴BC=AC（等角对等边）

在RtΔABC中，由勾股定理，得AC2+BC2=AB2,即2BC2=AB2

∴2BC=10,∴BC=5

部析：上述解答中，“将2BC2=AB2”中的指数约去，这一步显然是错误的。

改正：∵∠C=90°，∠A=45°，∴∠B=90°-45°=45°

∴∠A=∠B，AC=BC（等角对等边）

在RtΔABC中，由勾股定理，得AC2+BC2=AB2，即2BC2=AB2，

关于如何用勾股定理求平面直角坐标系，怎样用坐标法证明余弦定理的介绍到此结束，希望对大家有所帮助。